Modelo matemático del movimiento browniano

La exposición matemática de esta definición corresponde a  la función probabilística de densidad asociada con la ecuación de difusión de una partícula browniana, y en definitiva es una ecuación diferencial parcial.

La evolución temporal de la posición de una partícula browniana en sí misma puede ser descrita aproximadamente por una ecuación de Langevin, la cual involucra un campo de fuerzas aleatorias que representan el efecto de fluctuaciones termales de una solución de partículas brownianas. En grandes escalas de tiempo, el movimiento browniano matemático se describe perfectamente con la ecuación de Langevin. A tiempos cortos, los efectos de la inercia prevalecen en esta ecuación. Sin embargo, se considera a esta ecuación, de otra manera la ecuación se vuelve singular, así que se debe eliminar el término de la inercia de esta ecuación para tener una descripción exacta, pero el comportamiento singular de estas partículas no se describe del todo.

Otras maneras de conseguir su modelo matemático consideran un movimiento browniano

como un proceso de Gauss central con una función covariante para toda   El resultado de un proceso estocástico se le atribuye a Norbert Wiener quien dio la primera definición matemática rigurosa del movimiento quedó demostrado en la teoría de probabilidad, existente desde 1923, y se conoce con el nombre de proceso de Wiener. Él y Paul Lévy elaboraron el modelo que supone una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado: es como si la partícula «olvidara» de dónde viene y decidiese continuamente, y mediante un procedimiento al azar, hacia dónde ir. O sea que este movimiento, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad. Tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. Las dos propiedades básicas que Wiener supuso son: 

-Todas las trayectorias deben ser continuas.
-Una vez que fue observada la posición de la partícula en el instante t=0 (posición por tanto conocida), su posición (aleatoria) en un instante posterior t´ debe estar regido por la ley de Gauss, cuyos parámetros dependen del tiempo t transcurrido.

Figura 1. En el sistema partícula browniana-fluido cada una de las partículas componentes interacciona con todas las demás. En la figura solamente se indican algunas de estas interacciones.